Преобразование функции и изменение графика. Преобразование графиков функций

ДАГЕСТАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ

КАФЕДРА ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ИКТ

Проект

на тему:

« Построение и п реобразования

графиков функций

в школьном курсе математики »

Рабаданова П.А.

учитель математики

МБОУ « Кочубейская СОШ»

Тарумовский район

2015 г.

1. Введение……………………………………………………………….….3

2. Глава I . Обзор литературы по теме проекта………………………….….5

3. Глава II . Эмпирическая часть:

3.1. Основные методы преобразования графиков функции……….….7

3.2. Построение графиков четной и нечетной функций…………….. 10

3.3. Построение графика обратной функции………………………... 11

3.4. Деформация (сжатие и растяжение) графиков ………………….12

3.5.Комбинация переноса, отражения и деформации………………......13

4.Задания для самостоятельного решения………………………..…...14

5.Заключение………………………………………………………………15

6. Выводы…………………………………………………………..………17

ВВЕДЕНИЕ

Преобразование графиков функции является одним из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. В графиках отражены изменчивость и динамичность реального мира, взаимные отношения реальных объектов и явлений.

Функциональная линия является базовой тематикой, рассматриваемая в Основном и Едином государственных экзаменах. Так же многие математические понятия рассматриваются графическими методами. Например, к вадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами. Отсюда следует, что обучение учащихся построению и преобразованию графиков функции является одной из главных задач обучению математике в школе.

Исследование функции дает возможность найти об ласть определения и область значения функции, обла сти убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и др. Однако для построения графи ков многих функций можно использовать ряд методов, облегча ющие построение. Поэтому учащиеся должны иметь компетенции построения графиков по методическим схемам.

Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследования является изучение преобразование графиков функциональной линии в школьной математике.

Предмет исследования – процесс построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе.

Цель исследования: образовательная - заключается в выявлении методической схемы построения и преобразования графиков функции; развивающая - развитие абстрактного, алгоритмического, логического мышления, пространственного воображения; воспитательная – воспитание графической культуры школьников, формирование навыков умственного труда.

Цели обусловили решение следующих задач:

1. Проанализировать учебно-методическую по исследуемой проблеме.

2. Выявить методические схемы преобразования графиков функции в школьном курсе математики.

3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе , способствующие: осмысленному усвоению учебного материала; повышению познавательной активности учащихся; развитию их творческих способностей.

ГИПОТЕЗА исследования: формирование графических навыков в процессе изучения функций и воспитание графической культуры учащихся будет эффективным, если учащиеся владеют методической схемой построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики.

ГЛАВА I . ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ПРОЕКТА.

При подготовке к проекту мы изучили следующую литературу:

Сивашинский, И. Х. Теоремы и задачи по алгебре, элементарным функциям - М., 2002. - 115 с.

Гельфанд, И. М., Глаголева, Е. Г., Шноль, Э. Э. Функции и графики (основные приемы) - М., 1985. - 120 с

В.З.Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика- М., 2010(переиздание). - 590 с.

Кузьмин, М. К. Построение графика функции - Ж. Математика в школе. - 2003. - №5. - С. 61-62.

Шилов Г.Е. Как строить графики? - М., 1982.

Исаак Танатар. Геометрические преобразования графиков функций - МЦНМО, 2012

В отмечено, что умение с помощью графика «прочитать» поведение функции на некотором множестве находит применение не только в курсе математики, но и в любой практической деятельности человека, в которой ему приходится иметь дело с теми или иными графическими изображениями зависимостей. Поэтому учащиеся должны уметь по графику функции определить некоторые ее свойства.

В строго изложен теоретический материал преобразования графиков. Сопровождается методика иллюстрацией рисунками, различной сложности примерами и их решениями, что дает возможность углублено расширить знания и построении графиков сложных функций.

Представляет электронный учебный курс, объем и содержание которого соответствуют требованиям к курсу математики старших классов средней школы. Теоретический материал подкреплен графическими анимационными иллюстрациями, которые дают наглядные представления об изучаемой теме. Курс включает три модуля: модуль изучения теоретического материала, модуль самопроверки и модуль контроля знаний.

Из , , использованы для эмпирической части проекта методические схемы построения графиков, примеры для самостоятельной работы.

Выводы к 1 главе

Изучение учебно-методической литературы позволило:

1. Выявить методическую схему изучения, построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики.

2. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции в школьной математике, способствующие:

осмысленному усвоению учебного материала;

повышению познавательной активности учащихся;

развитию их творческих способностей.

3. показать, что функциональная линия оказывает существенное влияние при изучении различных понятий в математике.

Глава 2. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В этой главе мы рассмотрим основные методы преобразования графиков функций, дадим методические схемы построения различных комбинаций графиков для различных функций.

2.1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ

Перенос вдоль оси ординат

f ( x ) f ( x )+ b .

Для построения графика функции y = f ( x ) + b следу ет:

1. построить график функции y = f ( x )

2. перенести ось абсцисс на | b | единиц вверх при b >0 или на | b | еди ниц вниз при b < 0. Полученный в новой системе коор динат график является графиком функции y = f ( x ) + b .

2. Перенос вдоль оси абсцисс

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f ( x + a ) следу ет:

3. Построение графика функции вида y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Для построения графика функции y = f ( - х) следует:

построить график функции y = f ( x )

отразить его отно сительно оси ординат

полученный график является графиком функции y = f ( - х).

4. Построение графика функции вида у = - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f ( x ) следует:

построить график функции y = f ( x )

отразить его относительно оси абсцисс

2.2. Построение графиков четной и нечетной функций

При построении графиков четной и нечетной функции удобно пользоваться следующими свойствами:

1.График четной функции симмет ричен относительно оси ординат.

2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графиков четной и нечетной функции достаточно построить только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.

Для построения графика четной функции y = f ( x ) сле дует:

построить ветвь графика этой функции только в об ласти положительных значений аргумента х≥О.

О тразить этот ветвь относительно оси ординат

Для построения графика нечетной функции y = f ( x ) следует:

строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (х≥0).

О тразить этот ветвь относительно начало координат в область отрицательных значений х.

2.3. Построение графика обратной функции

Как уже отмечалось, прямая и обратная функции вы ражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в обратной функции эти переменные поменялись ролями, что равносильно изме нению обозначений осей координат. Поэтому график обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т. е. относительно прямой у = х. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции у = (х), обратной по отношению к функции y = f ( x ), следует построить график y = f ( x ) и отразить его относительно прямой у = х.

2.4. Деформация (сжатие и растяжение) графиков

1. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Для построения графика функции y = A ∙ f ( x ) следует:

8. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

f ( x )

Для построения графика функции у = f ( x ) следует:

2.5. Комбинация переноса, отражения и деформации

Очень часто при построении графиков функций при меняют комбинацию приемов .

Последовательное применение ряда таких приемов поз воляет существенно упростить построение графика ис ходной функции и нередко свести его в конце концов к построению одной из простейших элементарных функ ций. Рассмотрим, как с учетом изложенного следует строить графики функций.

Отметим, что поря док упрощения целесообразно проводить в следующей последователь ности.

Использование четности или нечетности функции.

Перенос осей.

Отражение и деформация.

Построение же графика выполняется в обратной последовательности.

Пример. Построить график функции

Построение проведем по следующим шагам:

1. построим график натурального логарифма :

2. сожмём к оси OY в 2 раза: ;
3. отобразим симметрично относительно оси OY : ;
4. сдвинем вдоль оси OX на (!!!) вправо: :

5. отобразим симметрично относительно оси OX : ;
6. сдвинем вдоль оси OY на 3 единицы вверх: :

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ

Пример 1. Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. log .

Построить график функции у = 2 cos х.

Построить график функции y = sin x .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Во время работы над проектной работой были проанализирована различная учебно-методическая литература по данной проблеме. Результаты исследования позволили выявить наиболее характерные положительные стороны изучения , построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики

Основной целью проекта является формирование у учащихся умений и навыков в чтении и выполнении чертежей, в формировании у них рациональных приемов самостоятельной деятельности.

Необходимость усовершенствования графического образования в целом диктуется не только современными требованиями производства, но и ролью графики в развитии технического мышления и познавательных способностей учащихся. Способность человека к переработке графической информации является одним из показателей его умственного развития. Поэтому графическая подготовка должна стать неотъемлемым элементом общеобразовательной подготовки.

Выводы

Таким образом, разработанный проект « Построение и преобразование графиков функции», посвященный одному из центральных понятий математики - функциональной зависимости, ориентирован на систематизацию и расширение знаний учащихся. Изучение конкретных способов преобразования графиков функций проводится аналитико-графическим путем по строгим методическим схемам. Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки учащихся. Для проведения занятий могут использоваться разнообразные формы и методы организации и обучения.

Показательная функция - это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a x .
Здесь a - фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции .
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем более сильное убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда


.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: Определить закономерности преобразования графиков функций.

Задачи:

Образовательная:

• Научить обучающихся строить графики функций путем преобразования графика данной функции, применяя параллельный перенос, сжатие (растяжение), различные виды симметрии.

Воспитательная:

• Воспитывать личностные качества обучающихся (умение слушать), доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, аккуратность, дисциплинированность, умение работать в группе.
• Воспитывать интерес к предмету и потребности в приобретении знаний.

Развивающая:

• Развивать пространственное воображение и логическое мышление обучающихся, умение быстро ориентироваться в обстановке; развивать сообразительность, находчивость, тренировать память.

Оборудование:

• Мультимедийная установка: компьютер, проектор.

Литература:

1. Башмаков, М. И. Математика [Текст]: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М. И. Башмаков.- 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр “Академия”, 2012. – 256 с.
2. Башмаков, М. И. Математика. Задачник [Текст]: учеб. пособие для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования/ М. И. Башмаков.– М.: Издательский центр “Академия”, 2012. – 416 с.

План урока:

1. Организационный момент (3 мин).
2. Актуализация знаний (7 мин).
3. Объяснение нового материала (20 мин).
4. Закрепление нового материала (10 мин).
5. Итог урока (3 мин).
6. Домашнее задание (2 мин).

Ход урока

1. Орг. момент (3 мин).

Проверка присутствующих.

Сообщение цели урока.

Основные свойства функций как зависимостей между переменными величинами не должны существенно меняться при изменении способа измерения этих величин, т. е. при изменении масштаба измерения и начала отсчета. Однако за счет более рационального выбора способа измерения переменных величин обычно удается упростить запись зависимости между ними, привести эту запись к некоторому стандартному виду. На геометрическом языке изменение способа измерения величин означает некоторые простые преобразования графиков, к изучению которых мы сегодня и перейдем.

2. Актуализация знаний (7 мин).

Прежде чем будем говорить о преобразованиях графиков, повторим пройденный материал.

Устная работа. (Слайд 2).

Даны функции:

3. Охарактеризуйте графики функций: , , , .

3. Объяснение нового материала (20 мин).

Простейшие преобразования графиков – это их параллельный перенос, сжатие (растяжение) и некоторые виды симметрии. Некоторые преобразования представлены в таблице (Приложение 1) , (Слайд 3).

Работа в группах.

Каждая группа строит графики заданных функций и представляет результат для обсуждения.

Преобразование графиков функций

В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции

Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

1. Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
2. Определения порядка преобразований.

И менно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией .

При построении графика функции мы совершаем преобразования графика базовой функции .

Если бы мы совершали преобразования функции в том же порядке, в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x) f(x+b)

1. Строим график фунции

2. Сдвигаем график фунции вдоль оси ОХ на |b| единиц

• влево, если b>0
• вправо, если b<0

Построим график функции

1. Строим график функции

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x) f(kx)

1. Строим график фунции

2. Абсциссы точек графика делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции .

1. Строим график функции

2. Все абсциссы точек графика делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x) f(-x)

1. Строим график фунции

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции .

1. Строим график функции

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Строим график функции

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции выглядит так:

Построим график функции

1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".

Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")

Затем выполнили преобразование f(x) f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции . Преобразования совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D

2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц

• вверх, если D>0
• вниз, если D<0

Построим график функции

1. Строим график функции

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

2. f(x)Af(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции

1. Построим график функции

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции

1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

|y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график уравнения

1. Строим график функции :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

График этой функции выглядит так: